СМО n-канальная с бесконечной очередью — различия между версиями
м |
м |
||
| (не показано 5 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 49: | Строка 49: | ||
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | ||
| − | + | == Система линейных уравнений == | |
Система уравнений принимает вид: | Система уравнений принимает вид: | ||
| − | |||
<!--[[файл:СМО83.JPG]]--> | <!--[[файл:СМО83.JPG]]--> | ||
[[файл:СЛУn8.png]] | [[файл:СЛУn8.png]] | ||
Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,∞'''), получаем упрощённый вид системы. | Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,∞'''), получаем упрощённый вид системы. | ||
| + | == Решение системы линейных уравнений == | ||
| + | Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,…, p<sub>n-1</sub>, p<sub>n</sub>,p<sub>n+1</sub>,…,p<sub>n+i-1</sub>,p<sub>n+i</sub>,p<sub>n+i+1</sub>,…'''. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
<!--[[файл:СМО84.JPG]] [[файл:СМО85.JPG]]--> | <!--[[файл:СМО84.JPG]] [[файл:СМО85.JPG]]--> | ||
[[файл:СЛУn801.png]] | [[файл:СЛУn801.png]] | ||
В результате получаем решение системы: | В результате получаем решение системы: | ||
| − | |||
| − | |||
<!--[[файл:СМО86.JPG]]--> | <!--[[файл:СМО86.JPG]]--> | ||
[[файл:СЛУn802.png]] | [[файл:СЛУn802.png]] | ||
| − | |||
== Основные характеристики системы == | == Основные характеристики системы == | ||
[[файл:СМО87.JPG]] | [[файл:СМО87.JPG]] | ||
| Строка 82: | Строка 76: | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | *Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | ||
| + | *Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.119-120. | ||
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | [[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | ||
Текущая версия на 17:55, 3 сентября 2025
СМО n-канальная с бесконечной очередью — это система массового обслуживания, в которой всегда есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.
Содержание
Описание модели
На вход n-канальной СМО с бесконечной очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.
После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается.
Число мест в очереди не ограничено.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/n/∞ – СМО n-канальная с бесконечной очередью.
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом;
S2 – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами;
…;
Sn-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;
Sn+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а 1-заявка ожидает в очереди;
….
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система линейных уравнений
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,∞), получаем упрощённый вид системы.
Решение системы линейных уравнений
Решим систему относительно p0,p1,p2,…, pn-1, pn,pn+1,…,pn+i-1,pn+i,pn+i+1,….
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
При χ<1 получаем
- Заметим, что при n=1 СМО n-канальная с бесконечной очередью становится одноканальной.
Другие СМО:
- СМО n-канальная без очереди;
- СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
- СМО n-канальная с m-очередью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО n-канальная с бесконечной очередью;
- СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками.
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
- Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.119-120.
