СМО замкнутая n-канальная без очереди

СМО замкнутая n-канальная без очереди

СМО замкнутая n-канальная без очереди — это система массового обслуживания, в которой есть n-каналов, n-источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в n-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Максимальное число заявок в системе равно числу каналов.

Обозначения

n – число каналов обслуживания;

m – число мест в очереди;

λ – интенсивность простейшего потока заявок;

μ – интенсивность простейшего потока обслуживания.

Описание модели

На вход n-канальной СМО поступает поток заявок от n-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/n/0/n – СМО замкнутая n-канальная без очереди

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, n-источников заявок;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом, (n-1)-источников заявок;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами, (n-2)-источников заявок;

…;

S_n-2 – в системе имеется (n-2)-заявок, они обслуживаются (n-2)-каналами, 2-источника заявок;

S_n-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами, 1-источник заявок;

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, источников заявок нет.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n), получаем упрощённый вид системы.

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁,p₂,…,p_n.

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

• Заметим, что при n>0,m=0,λ_i-1=(n-i+1)λ,μ_i=iμ,i=1,n система массового обслуживания становится СМО замкнутой n-канальной без очереди.
• Заметим, что при n=1 СМО замкнутая n-канальная без очереди становится одноканальной.

Другие СМО:

1. СМО n-канальная без очереди;
2. СМО n-канальная без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
3. СМО n-канальная без очереди и со случайным результатом обслуживания;
4. СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
5. СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
6. СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
7. СМО n-канальная с m-очередью;
8. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
9. СМО n-канальная с m-очередью и со случайным результатом обслуживания;
10. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
11. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания;
12. СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
13. СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
14. СМО n-канальная с бесконечной очередью;
15. СМО n-канальная с бесконечной очередью и с убывающим потоком заявок;
16. СМО с бесконечным числом каналов;
17. СМО с бесконечным числом каналов и с ограниченным временем обслуживания;
18. СМО замкнутая n-канальная без очереди;
19. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
20. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
21. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
22. СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с взаимопомощью;
23. СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с частичной взаимопомощью;
24. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
25. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
26. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
27. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками;
28. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с взаимопомощью;
29. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с частичной взаимопомощью.

Ссылки

• Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.125-126.