Гипотеза о равенстве средних при известных дисперсиях — различия между версиями

Материал из Мегапедии
Перейти к: навигация, поиск
м
м
 
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
−
'''Гипотеза о равенстве средних при известной дисперсии''' — гипотеза о том, что при известных дисперсиях, средние двух совокупностей равны.
+
'''Гипотеза о равенстве средних при известных дисперсиях''' — гипотеза о том, что при известных дисперсиях, средние двух совокупностей равны.
  
 
Для [[Нормальное распределение|нормально распределённой]] случайной величины использует статистику, имеющую стандартизованное распределение, '''N(0;1)'''.
 
Для [[Нормальное распределение|нормально распределённой]] случайной величины использует статистику, имеющую стандартизованное распределение, '''N(0;1)'''.
  
 
== Обозначения ==
 
== Обозначения ==
−
'''n<sub>x</sub>''' — число значений в выборке X;
+
'''<big>n<sub>x</sub></big>''' — число значений в выборке X;
  
−
'''n<sub>y</sub>''' — число значений в выборке Y;
+
'''<big>n<sub>y</sub></big>''' — число значений в выборке Y;
  
−
<math>\bar x_\text{Г}</math> — средняя генеральной совокупности X;
+
[[файл:СРЕД05.png]] — средняя генеральной совокупности X;
  
−
<math>\bar y_\text{Г}</math> — средняя генеральной совокупности Y;
+
[[файл:СРЕД15.png]] — средняя генеральной совокупности Y;
  
−
<math>\bar x_\text{В} = \bar x</math> — средняя в выборке X, <math> \bar x = \frac{1}{n_x} \sum\limits_{i=1}^{n_x}{x_i}</math>;
+
[[файл:СРЕД06.png]]=[[файл:СРЕД01.png]]  — средняя в выборке X, [[файл:СРЕД07.png]];
  
−
<math>\bar y_\text{В} = \bar y</math> — средняя в выборке Y, <math> \bar y = \frac{1}{n_y} \sum\limits_{i=1}^{n_y}{y_i}</math>;
+
[[файл:СРЕД16.png]]=[[файл:СРЕД11.png]]  — средняя в выборке Y, [[файл:СРЕД17.png]];
  
−
'''D<sub>x</sub>=σ<sub>x</sub><sup>2</sup>''' — дисперсия генеральной совокупности X;
+
'''<big>D<sub>xГ</sub>=σ<sub>x</sub><sup>2</sup></big>''' — дисперсия генеральной совокупности X;
  
−
'''D<sub>y</sub>=σ<sub>y</sub><sup>2</sup>''' — дисперсия генеральной совокупности Y;
+
'''<big>D<sub>yГ</sub>=σ<sub>y</sub><sup>2</sup></big>''' — дисперсия генеральной совокупности Y;
  
−
'''α''' — уровень значимости — вероятность ошибки 1-го рода;
+
'''<big>α</big>''' — уровень значимости — вероятность ошибки 1-го рода;
  
−
'''γ=1-α''' — [[Доверительный интервал средней при известной дисперсии|коэффициент доверия]];
+
'''<big>γ=1-α</big>''' — [[Доверительный интервал средней при известной дисперсии|коэффициент доверия]];
  
−
'''x''' — переменная стандартизованной случайной величины;
+
'''<big>x</big>''' — переменная стандартизованной случайной величины;
  
−
'''u''' — статистика, распределённая по нормальному закону '''N(0;1)''';
+
'''<big>u</big>''' — статистика, распределённая по нормальному закону '''N(0;1)''';
  
 
[[файл:ИФН02.png]] — интегральная функция нормального закона распределения стандартизованной случайной величины;
 
[[файл:ИФН02.png]] — интегральная функция нормального закона распределения стандартизованной случайной величины;
Строка 34: Строка 34:
 
== Гипотезы о средних: ==
 
== Гипотезы о средних: ==
 
[[файл:СТН11.png]] — статистика, распределённая по нормальному закону '''N(0;1)'''.
 
[[файл:СТН11.png]] — статистика, распределённая по нормальному закону '''N(0;1)'''.
−
 
 
=== Пример 1 ===
 
=== Пример 1 ===
 
'''<big>H<sub>0</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>=</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
 
'''<big>H<sub>0</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>=</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
Строка 40: Строка 39:
 
'''<big>H<sub>1</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>≠</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
 
'''<big>H<sub>1</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>≠</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
  
−
[[файл:СТН03.png]] — критерий отклонения гипотезы '''H<sub>0</sub>'''.
+
[[файл:СТН02.png]] — критерий отклонения гипотезы '''H<sub>0</sub>'''.
 
=== Пример 2 ===
 
=== Пример 2 ===
−
'''<big>H<sub>0</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>≤</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
+
'''<big>H<sub>0</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>=</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
  
 
'''<big>H<sub>1</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>></big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
 
'''<big>H<sub>1</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>></big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
  
−
[[файл:СТН02.png]] — критерий отклонения гипотезы '''H<sub>0</sub>'''.
+
[[файл:СТН03.png]] — критерий отклонения гипотезы '''H<sub>0</sub>'''.
 
*Заметим, что '''u<sub>1-α</sub>=-u<sub>α</sub>'''.
 
*Заметим, что '''u<sub>1-α</sub>=-u<sub>α</sub>'''.
 
=== Пример 3 ===
 
=== Пример 3 ===
−
'''<big>H<sub>0</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>≥</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
+
'''<big>H<sub>0</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>=</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
  
 
'''<big>H<sub>1</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big><</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
 
'''<big>H<sub>1</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big><</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
Строка 55: Строка 54:
 
[[файл:СТН04.png]] — критерий отклонения гипотезы '''H<sub>0</sub>'''.
 
[[файл:СТН04.png]] — критерий отклонения гипотезы '''H<sub>0</sub>'''.
 
*Заметим, что '''u<sub>α</sub>=-u<sub>1-α</sub>'''.
 
*Заметим, что '''u<sub>α</sub>=-u<sub>1-α</sub>'''.
−
=== Пример 4 ===
 
−
'''<big>H<sub>0</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>≠</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
 
−
 
−
'''<big>H<sub>1</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>=</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
 
−
 
−
[[файл:СТН05.png]] — критерий отклонения гипотезы '''H<sub>0</sub>'''.
 
 
== [[Гипотезы|Другие гипотезы:]] ==
 
== [[Гипотезы|Другие гипотезы:]] ==
 
{{Список Гип}}
 
{{Список Гип}}

Текущая версия на 04:29, 21 марта 2025

Гипотеза о равенстве средних при известных дисперсиях — гипотеза о том, что при известных дисперсиях, средние двух совокупностей равны.

Для нормально распределённой случайной величины использует статистику, имеющую стандартизованное распределение, N(0;1).

Обозначения

nx — число значений в выборке X;

ny — число значений в выборке Y;

СРЕД05.png — средняя генеральной совокупности X;

СРЕД15.png — средняя генеральной совокупности Y;

СРЕД06.png=СРЕД01.png — средняя в выборке X, СРЕД07.png;

СРЕД16.png=СРЕД11.png — средняя в выборке Y, СРЕД17.png;

DxГ=σx2 — дисперсия генеральной совокупности X;

DyГ=σy2 — дисперсия генеральной совокупности Y;

α — уровень значимости — вероятность ошибки 1-го рода;

γ=1-α — коэффициент доверия;

x — переменная стандартизованной случайной величины;

u — статистика, распределённая по нормальному закону N(0;1);

ИФН02.png — интегральная функция нормального закона распределения стандартизованной случайной величины;

ИФЛ02.png — интегральная функция Лапласа, отличается от интегральной функции нормального закона для стандартизованной случайной величины на 0,5, т.е. Ф(x)=F(x)-0,5.

Гипотезы о средних:

СТН11.png — статистика, распределённая по нормальному закону N(0;1).

Пример 1

H0:СРЕД05.png=СРЕД15.png;

H1:СРЕД05.png≠СРЕД15.png;

СТН02.png — критерий отклонения гипотезы H0.

Пример 2

H0:СРЕД05.png=СРЕД15.png;

H1:СРЕД05.png>СРЕД15.png;

СТН03.png — критерий отклонения гипотезы H0.

  • Заметим, что u1-α=-uα.

Пример 3

H0:СРЕД05.png=СРЕД15.png;

H1:СРЕД05.png<СРЕД15.png;

СТН04.png — критерий отклонения гипотезы H0.

  • Заметим, что uα=-u1-α.

Другие гипотезы:

Ссылки

Источник — «http://megapedia.wiki/w/index.php?title=Гипотеза_о_равенстве_средних_при_известных_дисперсиях&oldid=131155»