Гипотеза о равенстве средних при неизвестных дисперсиях

Гипотеза о равенстве средних при неизвестных дисперсиях — гипотеза о том, что при неизвестных неравных дисперсиях, средние двух совокупностей равны.

Для нормально распределённой случайной величины использует статистику, имеющую t-распределение Стьюдента.

Обозначения

n_x — число значений в выборке X;

n_y — число значений в выборке Y;

n — число значений в меньшей выборке n=min{n_x,n_y};

<math>\bar x_\text{Г}</math> — средняя генеральной совокупности X;

<math>\bar y_\text{Г}</math> — средняя генеральной совокупности Y;

<math>\bar x_\text{В} = \bar x</math> — средняя в выборке X, <math> \bar x = \frac{1}{n_x} \sum\limits_{i=1}^{n_x}{x_i}</math>;

<math>\bar y_\text{В} = \bar y</math> — средняя в выборке Y, <math> \bar y = \frac{1}{n_y} \sum\limits_{i=1}^{n_y}{y_i}</math>;

s_x — среднеквадратическое отклонение в выборке X, <math> s_x = \sqrt{\frac{1}{n_x} \sum\limits_{i=1}^{n_x}(x_i- \bar x)^2}</math>;

s_y — среднеквадратическое отклонение в выборке Y, <math> s_y = \sqrt{\frac{1}{n_y} \sum\limits_{i=1}^{n_y}(y_i- \bar y)^2}</math>;

α — уровень значимости — вероятность ошибки 1-го рода;

γ=1-α — коэффициент доверия;

t — переменная распределения Стьюдента;

k — число степеней свободы, k≈n-1;

F_Ст(t,k) — интегральная функция распределения Стьюдента.

t_табл=F_Ст^-1(1-α_табл/2,k) — табличное значение для t;

F_{Ст_табл}(α_табл,k)=P(|t|>t_{1-αтабл,k}) — табличное значение F_{Ст_табл}.

Гипотезы о средней

— статистика, имеющая распределение Стьюдента.

Пример 1

H₀:=;

H₁:≠;

— критерий отклонения гипотезы H₀.

Пример 2

H₀:≤;

H₁:>;

— критерий отклонения гипотезы H₀.

• Заметим, что t_1-α,n-1=-t_α,n-1.

Пример 3

H₀:≥;

H₁:<;

— критерий отклонения гипотезы H₀.

• Заметим, что t_α,n-1=-t_1-α,n-1.

Пример 4

H₀:≠;

H₁:=;

— критерий отклонения гипотезы H₀.

Другие гипотезы:

1. Гипотеза о средней равной числу при известной дисперсии;
2. Гипотеза о средней равной числу при неизвестной дисперсии;
3. Гипотеза о дисперсии равной числу при известной средней;
4. Гипотеза о дисперсии равной числу при неизвестной средней;
5. Гипотеза о равенстве дисперсий;
6. Гипотеза о равенстве межгрупповой и внутригрупповой дисперсий;
7. Гипотеза о равенстве нескольких дисперсий;
8. Гипотеза о равенстве средних при известных дисперсиях;
9. Гипотеза о равенстве разности средних числу при известных дисперсиях;
10. Гипотеза о равенстве средних при неизвестных равных дисперсиях;
11. Гипотеза о равенстве средних при неизвестных дисперсиях;
12. Гипотеза о вероятности равной числу;
13. Гипотеза о равенстве вероятностей;
14. Гипотеза о нормальном законе распределения;
15. Гипотеза об отсутствии линейной корреляционной связи;
16. Гипотеза о коэффициенте линейного уравнения регрессии равном нулю;
17. Гипотеза о коэффициенте линейного уравнения множественной регрессии равном нулю;
18. Гипотеза о значимости линейного уравнения регрессии;
19. Гипотеза о значимости линейного уравнения множественной регрессии;
20. Гипотеза о коэффициенте корреляции равном числу;
21. Гипотеза о коэффициенте корреляции равном нулю;
22. Гипотеза о равенстве коэффициентов корреляции.

Ссылки

• https://mse.msu.ru/wp-content/uploads/2020/03/Лекция-7-Две-выборки-дополнительный-материал.pdf?ysclid=lw95m4ujxc524332566
• Участник:Logic-samara