Гипотеза о равенстве средних при неизвестных дисперсиях — различия между версиями

Материал из Мегапедии
Перейти к: навигация, поиск
м
м
 
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника)
Строка 4: Строка 4:
  
 
== Обозначения ==
 
== Обозначения ==
−
'''n<sub>x</sub>''' — число значений в выборке X;
+
'''<big>n<sub>x</sub></big>''' — число значений в выборке X;
  
−
'''n<sub>y</sub>''' — число значений в выборке Y;
+
'''<big>n<sub>y</sub></big>''' — число значений в выборке Y;
  
−
'''n''' — число значений в меньшей выборке '''n=min{n<sub>x</sub>,n<sub>y</sub>}''';
+
'''<big>n</big>''' — число значений в меньшей выборке '''<big>n=min{n<sub>x</sub>,n<sub>y</sub>}</big>''';
  
 
'''<big>n<sub>x</sub></big>''' — число значений в выборке X;
 
'''<big>n<sub>x</sub></big>''' — число значений в выборке X;
Строка 18: Строка 18:
 
[[файл:СРЕД16.png]]=[[файл:СРЕД11.png]]  — средняя в выборке Y, [[файл:СРЕД17.png]];
 
[[файл:СРЕД16.png]]=[[файл:СРЕД11.png]]  — средняя в выборке Y, [[файл:СРЕД17.png]];
  
−
'''s<sub>x</sub>''' — среднеквадратическое отклонение в выборке X, <math> s_x = \sqrt{\frac{1}{n_x} \sum\limits_{i=1}^{n_x}(x_i- \bar x)^2}</math>;
+
'''<big>s<sub>x</sub></big>''' — исправленное среднеквадратическое отклонение в выборке X, [[файл:СРЕД08.png]];
  
−
'''s<sub>y</sub>''' — среднеквадратическое отклонение в выборке Y, <math> s_y = \sqrt{\frac{1}{n_y} \sum\limits_{i=1}^{n_y}(y_i- \bar y)^2}</math>;  
+
'''<big>s<sub>y</sub></big>''' — исправленное среднеквадратическое отклонение в выборке Y, [[файл:СРЕД18.png]];  
  
−
'''α''' — уровень значимости — вероятность ошибки 1-го рода;
+
'''<big>α</big>''' — уровень значимости — вероятность ошибки 1-го рода;
  
−
'''γ=1-α''' — [[Доверительный интервал средней при неизвестной дисперсии|коэффициент доверия]];
+
'''<big>γ=1-α</big>''' — [[Доверительный интервал средней при неизвестной дисперсии|коэффициент доверия]];
  
−
'''t''' — переменная распределения Стьюдента;
+
'''<big>t</big>''' — переменная распределения Стьюдента;
  
−
'''k''' — число степеней свободы, '''k≈n-1''';
+
'''<big>k</big>''' — число степеней свободы, '''<big>k≈n-1</big>''';
  
−
'''F<sub>Ст</sub>(t,k)''' — интегральная функция распределения Стьюдента.
+
'''<big>F<sub>Ст</sub>(t,k)</big>''' — интегральная функция распределения Стьюдента.
  
−
'''t<sub>табл</sub>=F<sub>Ст</sub><sup>-1</sup>(1-α<sub>табл</sub>/2,k)''' — табличное значение для '''t''';
+
'''<big>t<sub>табл</sub>=F<sub>Ст</sub><sup>-1</sup>(1-α<sub>табл</sub>/2,k)</big>''' — табличное значение для '''t''';
  
−
'''F<sub>Ст_табл</sub>(α<sub>табл</sub>,k)=P(|t|>t<sub>1-α<sub>табл</sub>,k</sub>)''' — табличное значение '''F<sub>Ст_табл</sub>'''.
+
'''<big>F<sub>Ст_табл</sub>(α<sub>табл</sub>,k)=P(|t|>t<sub>1-α<sub>табл</sub>,k</sub>)</big>''' — табличное значение '''F<sub>Ст_табл</sub>'''.
 
== Гипотезы о средней ==
 
== Гипотезы о средней ==
 
[[файл:СТС11.png]] — статистика, имеющая [[распределение Стьюдента]].
 
[[файл:СТС11.png]] — статистика, имеющая [[распределение Стьюдента]].
Строка 44: Строка 44:
 
[[файл:СТС03.png]] — критерий отклонения гипотезы '''H<sub>0</sub>'''.
 
[[файл:СТС03.png]] — критерий отклонения гипотезы '''H<sub>0</sub>'''.
 
=== Пример 2 ===
 
=== Пример 2 ===
−
'''<big>H<sub>0</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>≤</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
+
'''<big>H<sub>0</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>=</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
  
 
'''<big>H<sub>1</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>></big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
 
'''<big>H<sub>1</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>></big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
Строка 51: Строка 51:
 
*Заметим, что '''t<sub>1-α,n-1</sub>=-t<sub>α,n-1</sub>'''.
 
*Заметим, что '''t<sub>1-α,n-1</sub>=-t<sub>α,n-1</sub>'''.
 
=== Пример 3 ===
 
=== Пример 3 ===
−
'''<big>H<sub>0</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>≥</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
+
'''<big>H<sub>0</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>=</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
  
 
'''<big>H<sub>1</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big><</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
 
'''<big>H<sub>1</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big><</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
Строка 57: Строка 57:
 
[[файл:СТС04.png]] — критерий отклонения гипотезы '''H<sub>0</sub>'''.
 
[[файл:СТС04.png]] — критерий отклонения гипотезы '''H<sub>0</sub>'''.
 
*Заметим, что '''t<sub>α,n-1</sub>=-t<sub>1-α,n-1</sub>'''.
 
*Заметим, что '''t<sub>α,n-1</sub>=-t<sub>1-α,n-1</sub>'''.
−
=== Пример 4 ===
 
−
'''<big>H<sub>0</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>≠</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
 
−
 
−
'''<big>H<sub>1</sub>:</big>'''[[файл:СРЕД05.png]]'''<big>=</big>'''[[файл:СРЕД15.png]];
 
−
 
−
[[файл:СТС05.png]] — критерий отклонения гипотезы '''H<sub>0</sub>'''.
 
  
 
== [[Гипотезы|Другие гипотезы:]] ==
 
== [[Гипотезы|Другие гипотезы:]] ==

Текущая версия на 04:32, 21 марта 2025

Гипотеза о равенстве средних при неизвестных дисперсиях — гипотеза о том, что при неизвестных неравных дисперсиях, средние двух совокупностей равны.

Для нормально распределённой случайной величины использует статистику, имеющую t-распределение Стьюдента.

Обозначения

nx — число значений в выборке X;

ny — число значений в выборке Y;

n — число значений в меньшей выборке n=min{nx,ny};

nx — число значений в выборке X;

ny — число значений в выборке Y;

СРЕД06.png=СРЕД01.png — средняя в выборке X, СРЕД07.png;

СРЕД16.png=СРЕД11.png — средняя в выборке Y, СРЕД17.png;

sx — исправленное среднеквадратическое отклонение в выборке X, СРЕД08.png;

sy — исправленное среднеквадратическое отклонение в выборке Y, СРЕД18.png;

α — уровень значимости — вероятность ошибки 1-го рода;

γ=1-α — коэффициент доверия;

t — переменная распределения Стьюдента;

k — число степеней свободы, k≈n-1;

FСт(t,k) — интегральная функция распределения Стьюдента.

tтабл=FСт-1(1-αтабл/2,k) — табличное значение для t;

FСт_табл(αтабл,k)=P(|t|>t1-αтабл,k) — табличное значение FСт_табл.

Гипотезы о средней

СТС11.png — статистика, имеющая распределение Стьюдента.

Пример 1

H0:СРЕД05.png=СРЕД15.png;

H1:СРЕД05.png≠СРЕД15.png;

СТС03.png — критерий отклонения гипотезы H0.

Пример 2

H0:СРЕД05.png=СРЕД15.png;

H1:СРЕД05.png>СРЕД15.png;

СТС02.png — критерий отклонения гипотезы H0.

  • Заметим, что t1-α,n-1=-tα,n-1.

Пример 3

H0:СРЕД05.png=СРЕД15.png;

H1:СРЕД05.png<СРЕД15.png;

СТС04.png — критерий отклонения гипотезы H0.

  • Заметим, что tα,n-1=-t1-α,n-1.

Другие гипотезы:


Ссылки

Источник — «http://megapedia.wiki/w/index.php?title=Гипотеза_о_равенстве_средних_при_неизвестных_дисперсиях&oldid=131158»