Система массового обслуживания

СМО с очередью

Система массового обслуживания (СМО) — это система, в которой есть хотя бы один канал обслуживания, поток заявок и поток обслуживаний.

Системы массового обслуживания

Описание модели

На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ_i в зависимости от состояния системы.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каналом или каналами μ_i в зависимости от состояния системы.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/n/m – СМО n-канальная с m-очередью.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ – в системе имеется одна заявка, она обслуживается каналами и уходит с определённой интенсивностью;

S₂ – в системе имеется две заявки, они обслуживаются каналами и уходят с определённой интенсивностью;

…;

S_n-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами и уходят с определённой интенсивностью;

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью;

S_n+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью;

…;

S_n+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью;

S_n+m – в системе имеется (n+m)-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁,…,p_n+m.

В результате получаем решение системы:

Классификация СМО

По возможности обслуживания:

• СМО с отказами;
• СМО без отказов.

По наличию очереди:

• СМО n-канальная без очереди;
• СМО n-канальная с m-очередью;
• СМО n-канальная с бесконечной очередью.

По времени ожидания в очереди:

• СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
• СМО с бесконечным временем ожидания.

По числу заявок в системе:

• СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
• СМО с бесконечным числом заявок.

По характеру обслуживания:

• СМО с взаимопомощью;
• СМО без взаимопомощи.

По числу каналов обслуживания:

• одноканальные СМО;
• многоканальные СМО;
• СМО с бесконечным числом каналов.

Основные характеристики СМО

λ_i – интенсивность простейшего потока оставшихся заявок (без i-заявок);

μ_i – суммарная интенсивность простейшего потока обслуживаний (работающими каналами) и потока уходов i-заявок;

p₀ – вероятность состояния системы, в котором все каналы свободны;

p_i – вероятность i-ого состояния системы;

p_n – вероятность состояния n-канальной системы, в котором все каналы заняты;

p_n+m – вероятность состояния n-канальной системы с m-местами в очереди, в котором все каналы и места в очереди заняты;

q – относительная пропускная способность системы;

A – абсолютная пропускная способность системы;

p_прост – вероятность простоя системы;

p_отк – вероятность отказа системы;

p_обсл – вероятность обслуживания в системе;

p_{полн.загр} – вероятность полной загрузки системы;

p_{неполн.загр} – вероятность неполной загрузки системы;

p_очер – вероятность наличия очереди в системе;

p_{полн.зан} – вероятность полной занятости каналов;

p_{неполн.зан} – вероятность неполной занятости каналов;

p_1зан – вероятность занятости, отдельно взятого канала системы;

p_1прост – вероятность простоя, отдельно взятого канала системы;

t_λ – среднее время между заявками;

t_μ – среднее время обслуживания заявки каналом;

t_{полн.загр} – среднее время полной загрузки системы;

t_{неполн.загр} – среднее время неполной загрузки системы;

t_{полн.зан} – среднее время полной занятости всех каналов;

t_{неполн.зан} – среднее время неполной занятости всех каналов;

t_1зан – среднее время занятости, отдельно взятого канала системы;

t_1прост – среднее время простоя, отдельно взятого канала системы;

t_прост – среднее время простоя системы;

t_обсл – среднее время обслуживания заявки в системе;

t_очер – среднее время нахождения заявки в очереди в системе;

t_сист – среднее время нахождения заявки в системе;

s – среднее число заявок на обслуживании;

k – среднее число занятых каналов;

r – среднее число заявок в очереди;

l – среднее число заявок в системе.

Основные типы СМО:

1. СМО n-канальная без очереди;
2. СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
3. СМО n-канальная без очереди и со случайным результатом обслуживания;
4. СМО n-канальная с m-очередью;
5. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
6. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
7. СМО с бесконечным числом каналов;
8. СМО n-канальная с бесконечной очередью;
9. СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
10. СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
11. СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
12. СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
13. СМО замкнутая n-канальная без очереди;
14. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
15. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
16. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками.

Одноканальные СМО:

1. Одноканальная СМО без очереди;
2. Одноканальная СМО с m-очередью;
3. Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
4. Одноканальная СМО с бесконечной очередью;
5. Одноканальная СМО с бесконечной очередью и с убывающим потоком заявок;
6. Одноканальная СМО замкнутая без очереди;
7. Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью;
8. Одноканальная СМО замкнутая без очереди и с k-источниками;
9. Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k-источниками.

Другие разделы:

• Теория вероятностей:
  • вероятность;
  • распределения вероятностей;
  • локальная теорема Лапласа;
  • интегральная теорема Лапласа;
  • диаграмма Венна;
  • диаграмма Эйлера;
• Математическая статистика:
  • дискретная случайная величина;
  • непрерывная случайная величина;
  • интервальный ряд;
  • гипотезы;
  • доверительные интервалы;
• Статистика:
  • коэффициенты;
• Экономическая статистика:
  • индексы;
  • показатели динамики;
• Случайные процессы:
  • система управления запасами;
  • система массового обслуживания;
• Логистика:
  • логистические алгоритмы;
  • транспортные задачи;
• Теория игр:
  • игра;
  • критерии.

Ссылки

• Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
• Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.107-112.